Α) χ2+αχ+α-1=0 Δ >= 0 Α=1 Β=α Γ=α-1 Δ = α2- 4*(α-1)=α2-4α+4=(α-2)2 αυτό είναι πάντα για οποιαδήποτε τιμη του α μεγαλύτερο ή =0 οπότε η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια λύση Β) αν η εξίσωση έχει μια διπλή λύση πρέπει Δ=0 Άρα (α-2)2=0 με α=2 Χ2+2χ+2-1=0 Χ2+2χ+1=0 α=1 β=2 Δ=4-4=0 γ=1 χ=-2/2=-1 Γ) χ2+αχ+α-1=0 Δ = α2- 4*(α-1)=α2-4α+4=(α-2)2 Α=1 Β=α Γ=α-1 Χ1=-β+ριζα Δ/2α Χ2=-β-ριζα Δ/2α Χ1=-α+α+2/2= -1 Χ2=-α-α+2/2=-2α+2/2=-2(α-1)/2=-(α-1)=1-α Δ) έστω χ1 η μια ρίζα η άλλη θα είναι 4χ1 Ισχύει ότι 4χ1+χ1 = -β+ριζα δ –β –ριζα δ/2α= -Β/Α Αντικαθιστούμε 5χ1= -α Χ1 =-α/5 χ2+αχ+α-1=0 οπου χ=χ1=-α/5 α2/25-α2/5+α-1=0 πολλαπλασιάζουμε όλους τους αριθμούς με το 25 α2-5α2+25α-25=0 -4α2+25α-25=0 Α=-4 Β=25 Γ=-25 Δ= Β2 - 4αγ =625 -400 = 225 οπου η ριζα του είναι 15 α1=-25+15/-8=5/4 α2=-25-15/-8= 5
αν αντικαταστήσω τις τιμές του α βγαίνει και για τις δυο τιμές ότι η μια λύση είναι τετραπλάσια της άλλης ΒΑΙΟΣ
γ) Στην εξ. x^2 + αx + α - 1 = 0 : Α=1, Β=α, Γ=α-1 Δ= (α-2)^2 ≥ 0 Μία τουλάχιστον λύση: x= (-Β ± √Δ) / 2Α = [-α ± √(α-2)^2] / 2*1 = (-α ± |α-2|) / 2 (Επειδή δε γνωρίζουμε αν το α-2 είναι θετικός ή αρνητικός, γράφουμε τη ρίζα του (α-2)^2 ως την απόλυτη τιμή του α-2.)
Αν α=2, |α-2|=0. Αν α>2, |α-2|= α-2. Αν α<2, |α-2|= -(α-2) = -α+2.
Α) χ2+αχ+α-1=0
ΑπάντησηΔιαγραφήΔ >= 0
Α=1
Β=α
Γ=α-1
Δ = α2- 4*(α-1)=α2-4α+4=(α-2)2 αυτό είναι πάντα για οποιαδήποτε τιμη του α μεγαλύτερο ή =0 οπότε η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια λύση
Β) αν η εξίσωση έχει μια διπλή λύση πρέπει Δ=0
Άρα (α-2)2=0 με α=2
Χ2+2χ+2-1=0
Χ2+2χ+1=0
α=1
β=2 Δ=4-4=0
γ=1 χ=-2/2=-1
Γ) χ2+αχ+α-1=0
Δ = α2- 4*(α-1)=α2-4α+4=(α-2)2
Α=1
Β=α
Γ=α-1
Χ1=-β+ριζα Δ/2α
Χ2=-β-ριζα Δ/2α
Χ1=-α+α+2/2= -1
Χ2=-α-α+2/2=-2α+2/2=-2(α-1)/2=-(α-1)=1-α
Δ) έστω χ1 η μια ρίζα η άλλη θα είναι 4χ1
Ισχύει ότι 4χ1+χ1 = -β+ριζα δ –β –ριζα δ/2α= -Β/Α
Αντικαθιστούμε
5χ1= -α
Χ1 =-α/5
χ2+αχ+α-1=0 οπου χ=χ1=-α/5
α2/25-α2/5+α-1=0
πολλαπλασιάζουμε όλους τους αριθμούς με το 25
α2-5α2+25α-25=0
-4α2+25α-25=0
Α=-4
Β=25
Γ=-25
Δ= Β2 - 4αγ =625 -400 = 225 οπου η ριζα του είναι 15
α1=-25+15/-8=5/4
α2=-25-15/-8= 5
αν αντικαταστήσω τις τιμές του α βγαίνει και για τις δυο τιμές ότι η μια λύση είναι τετραπλάσια της άλλης
ΒΑΙΟΣ
α) Για να αποδείξω ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση, θα πρέπει να αποδείξω ότι η Δ≥0.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτην εξ. x^2 + αx + α - 1 = 0 :
Α=1, Β=α, Γ=α-1
Δ= Β^2 - 4ΑΓ = α^2 - 4*1*(α-1) = α^2 - 4(α-1) = α^2 -4α + 4 = (α-2)^2
Το (α-2)^2 ≥ 0 για κάθε τιμή του α [γιατί αν α≠2 το (α-2)^2 > 0 και αν α=2 το (α-2)^2 = 0].
β) Αν η εξίσωση έχει μια διπλή λύση η Δ=0.
Δ=0
(α-2)^2 = 0
α-2 = 0
α=2
x^2 + αx + α - 1 = 0
x^2 + 2x + 2 - 1 = 0
x^2 + 2x + 1 = 0
Στην εξ. x^2 + 2x + 1 = 0 :
Α=1, Β=2, Γ=1
Δ=0
Μία διπλή λύση:
x= - Β/2Α = - 2/2*1 = -1
γ) Στην εξ. x^2 + αx + α - 1 = 0 :
Α=1, Β=α, Γ=α-1
Δ= (α-2)^2 ≥ 0
Μία τουλάχιστον λύση:
x= (-Β ± √Δ) / 2Α = [-α ± √(α-2)^2] / 2*1 = (-α ± |α-2|) / 2 (Επειδή δε γνωρίζουμε αν το α-2 είναι θετικός ή αρνητικός, γράφουμε τη ρίζα του (α-2)^2 ως την απόλυτη τιμή του α-2.)
Αν α=2, |α-2|=0.
Αν α>2, |α-2|= α-2.
Αν α<2, |α-2|= -(α-2) = -α+2.
Για α=2:
(-α ± |α-2|) / 2 = (-2 ± 0) / 2 = -2/2 = -1
Για α>2:
(-α ± |α-2|) / 2 = (-α ± α-2) / 2 =
ρ1= (-α + α - 2) / 2 = -2/2 = -1
ρ2= [-α - (α - 2)] / 2 = (-α - α +2) / 2 = (-2α + 2) / 2 = 2(1-α) / 2 = 1-α
Για α<2:
(-α ± |α-2|) / 2 = [-α ± (-α+2)] / 2 =
ρ1= (-α - α + 2) / 2 = (-2α + 2) / 2 = 2(1-α) / 2 = 1-α
ρ2= [-α -(-α+2)] / 2 = (-α + α - 2) / 2 = -2/2 = -1
Άρα για κάθε τιμή του α υπάρχει ένας σταθερός αριθμός (το -1) που είναι λύση της εξίσωσης.
δ) Αν η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες η Δ>0.
Στην εξ. x^2 + αx + α - 1 = 0 :
Α=1, Β=α, Γ=α-1
Δ= (α-2)^2 > 0 Άρα θα πρέπει α≠2.
Για α>2:
ρ1= -1
ρ2= 1-α (από υποερώτημα γ)
Αν
ρ1=4*ρ2
-1 = 4(1-α)
-1 = 4 - 4α
-1 - 4 = -4α
-5 = -4α
-5/4 = -4α/4
α=5/4
α=1,25 Απορρίπτεται γιατί πρέπει α>2.
Αν
ρ2=4*ρ1
1-α = 4*(-1)
1-α = -4
-α = -4 -1
α=5
Άρα για α>2 το α=5.
Για α<2:
ρ1= 1-α
ρ2= -1 (από υποερώτημα γ)
Αν
ρ1=4*ρ2
1-α = 4*(-1)
α=5 Απορρίπτεται γιατί πρέπει α<2.
Αν
ρ2=4*ρ1
-1 = 4(1-α)
α=1,25
Άρα για α<2 το α=1,25.
ΜΕΛΙΝΑ Λ.
Εκπληκτικές λύσεις από το Βάιο και τη Μελίνα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολλά μπράβο και στους δύο.