Κυριακή, 29 Οκτωβρίου 2017

Άσκηση του μήνα για τη Γ΄ Γυμνασίου (Οκτώβριος 2017)


4 σχόλια:

  1. α) Αφού το πολυώνυμο [P(x)]^2 είναι 2ου βαθμού ως προς x τότε το P(x) θα είναι πολυώνυμο 1ου βαθμού ως προς x
    β)Αφού [P(x)]^2=3xP(x)-2x^2
    τότε, [P(x)]^2+2x^2=3xP(x)
    [P(x)]^2+2x^2/3x=P(x)
    Αικ.Γκ. Γ1

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Για το (α) δεν γνωρίζουμε ότι το [P(x)]^2 είναι 2ου βαθμού.
      Π.χ. αν P(x) = x^2 (2ου βαθμού), τότε [P(x)]^2 = x^4 (4ου βαθμού).
      Στο (β) πρέπει να βρούμε ακριβώς τον τύπο του πολυωνύμου
      (π.χ. P(x) = 3x + 7)
      Αικ.Γκ. ξαναπροσπάθησε ...

      Διαγραφή
  2. Εύρηκα Εύρηκα όπως είπε και ο Αρχιμήδης. Λοιπόν τώρα πρέπει να το βρήκα ύστερα από κάτι ώρες.
    α)Θεωρώ ν τον εκθέτη του πολυωνύμου P(x). Άρα για [P(x)]^2 ο εκθέτης ισούται με 2ν. Αφού ισχύει [P(x)]^2=3xP(x)-2x^2 τότε,ο βαθμός του 3xP(x) -> ν+1. Άρα 2ν=ν+1. Άρα το πολυώνυμο P(x) είναι 1ου βαθμού.
    β)Αφού το πολυώνυμο P(x) είναι 1ου βαθμού, θεωρούμε για P(x)=αx+β. Άρα για [P(x)]^2=3x(αx+β)-2x^2
    (αx+β)^2=3αx^2+3xβ-2x^2
    α^2x^2+2αβx+β^2=(3α-2)x^2+3βx
    Άρα α^2=3α-2, για να ισχύει αυτό θα πρέπει α=1 και β^2=0 Άρα β=0.
    Άρα P(x)=x+0
    Ελπίζω να το βρήκα γτ το παίδευα 2 ώρες. Αικ.Γκ. Γ1

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Συγχαρητήρια Αικ.Γκ. !!!
      Να συμπληρώσω ότι
      α) το μηδενικό πολυώνυμο (που δεν έχει βαθμό) προφανώς και δεν ικανοποιεί την αρχική σχέση,
      β) μπορεί το α να πάρει και την τιμή 2, δηλαδή άλλο ένα πολυώνυμο που ικανοποιεί την αρχική σχέση είναι το Ρ(x) = 2x.

      Διαγραφή