Πέμπτη, 24 Απριλίου 2014

Άσκηση του μήνα για την Β΄ Γυμνασίου (Απρίλιος 2014)


4 σχόλια:

  1. Φέρνω τα τμήματα ΑΚ,ΒΛ και τις διαγώνιους ΑΛ,ΒΚ του τετραπλεύρου που σχηματίζεται. Το σημείο τομής των διαγωνίων το ονομάζω Ο.
    Ονομάζω Μ το σημείο επαφής των κύκλων (Κ, 2cm) και (Λ, 2cm).

    α) Οι γωνίες ΒΑΛ και ΑΒΚ είναι ίσες ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στα ίσα τόξα ΑΚ και ΒΛ (τα τόξα είναι ίσα γιατί οι αντίστοιχες χορδές τους ΑΚ,ΒΛ είναι ίσες ως ακτίνες ίσων κύκλων). Άρα το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές (ΑΟ=ΒΟ) γιατί οι γωνίες προσκείμενες στη βάση του είναι ίσες.
    Το ίδιο ισχύει και στο τριγ. ΚΛΟ αφού οι γωνίες ΒΚΛ και ΑΛΚ είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν επίσης στα ίσα τόξα ΑΚ,ΒΛ. Έτσι ΛΟ=ΚΟ=ΑΟ=ΒΟ.
    Άρα το σημείο Ο είναι το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Κ,Λ,Β,Α , γιατί τα σημεία αυτά ισαπέχουν από το Ο.
    Έτσι τα ευθ. τμήματα ΑΟ,ΒΟ,ΛΟ,ΚΟ είναι ακτίνες και ΑΛ,ΒΚ είναι διάμετροι.
    Η γωνία ΑΚΛ= 90 μοίρες γιατί είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο (Ο,ΑΟ) και βαίνει σε ημικύκλιο. Το ίδιο ισχύει για τις γωνίες ΒΛΚ,ΒΑΚ και ΑΒΛ. Άρα το τετράπλευρο ΑΒΛΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

    Περίμετρος Τ= ΑΒ+l1+l2 ( l1 το μήκος του τόξου ΑΜ και l2 μήκος τόξου ΒΜ )

    L (K,2cm)= L (Λ,2cm)= 2πρ= 2*π*2= 4π cm
    l1=(90/360)L= (1/4)L= L/4= (4π)/4= π cm και l2=(90/360)L= (1/4)L= L/4= (4π)/4= π cm
    Περίμετρος Τ= ΑΒ++l1+l2= ΑΒ+2*l1= 4+2π= 4+2*314= 4+6,28= 10,28 cm

    Εμβαδόν Τ= (ΑΒΛΚ) - 2ε (ε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΑΜΚ=ΒΜΛ)

    (ΑΒΛΚ)= ΑΚ*ΚΛ= 2*4= 8 cm^2
    Εμβαδόν (Κ,2cm)= πρ^2= π * 2^2= 4π cm^2
    Το εμβαδόν ε του κυκλ. τμήματος ΑΜΚ που αντιστοιχεί στο τόξο ΑΜ είναι το 1/4 του Ε (Κ,2cm).
    Άρα ε= Ε (Κ,2cm) / 4= (4π)/4= π cm^2
    Εμβαδόν Τ= (ΑΒΛΚ) - 2ε= 8-2π= 8-2*3,14= 8-6,28= 1,72 cm^2

    β) Π.Θ. στο ορθ. τριγ. ΑΚΛ:
    ΑΛ^2= ΑΚ^2 + ΚΛ^2
    ΑΛ^2= 2^2 + 4^2
    ΑΛ^2= 4+16
    ΑΛ^2= 20
    ΑΛ= √20
    ΑΛ= √4*5
    ΑΛ= √4 * √5
    ΑΛ= 2√5 cm

    ΑΟ= ΑΛ/2= (2√5)/2= √5 cm

    L (O,AO)= πδ= 3,14*ΑΛ= 3,14*2√5= 6,28√5= 6,28*2,24= 14,06 cm
    Ε (O,AO)= πρ^2= 3,14*ΑΟ= 3,14*(√5)^2= 3,14*5=15,7 cm^2

    ΜΕΛΙΝΑ Λ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Οι ασκήσεις αυτές ξεπερνούν κατά πολύ το επίπεδο του σχολείου.
      Χαίρομαι που υπάρχει ενδιαφέρον από πολλά παιδιά.
      Η λύση της Μελίνας είναι εκπληκτική.
      Πολλά πολλά συγχαρητήρια !!!

      Διαγραφή
  2. α) ΑΒΚΛ ΕΙΝΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΚΑΘΩΣ Η ΑΒ ΕΙΝΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΔΥΟ ΚΥΚΛΟΥΣ .
    ΕΣΤΩ Μ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ
    ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Τ ΥΠΑΡΧΕΙ Ο ΕΞΗΣ ΤΡΟΠΟΣ
    Ε(ΑΒΚΛ)-2Ε(ΑΚΜ)\
    (ΑΚΜ)=(ΒΛΜ)=1/4 ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ
    2*4-2(ΑΚΜ)=
    8-2(Π*2^2)/4=8-8Π /4=8- 2Π=8-6,28 =1,72 ΤΕΚ

    L=AB+2AM AM=2Π*2/4=Π
    L=4+2Π=4+6,28= 10,28 ΕΚ



    β) ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΒΡΩ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ .
    ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΙΣΑΠΕΧΕΙ ΑΠΟ ΟΛΑ ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ . ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ ΣΤΟ ΟΡΘ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΤΙ ΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΙΣΕΣ ΚΑΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥΝΤΑΙ ΑΡΑ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΩΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ (Ο)
    ΟΑ=ΟΒ=ΟΚ=ΟΛ
    ΑΠΟ ΤΟ ΟΡΘ ΤΡΙΓΩΝΟ ΒΛΚ ΕΧΩ
    (ΒΛ)^2+(ΚΛ)^2=(ΒΚ)^2
    2^2+4^2=(ΒΚ)^2
    4+16=(ΒΚ)^2
    ΒΚ=ΡΙΖΑ 20 =ΡΙΖΑ 4 *ΡΙΖΑ 5 =2ΡΙΖΑ5
    ΑΡΑ Η ΑΚΤΗΝΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΕΙΝΑΙ ΡΙΖΑ 5
    L=2Π*R=6.28*ΡΙΖΑ5 ΕΚ=14.04 ΕΚ

    Ε=ΠR^2=Π*(ΡΙΖΑ5)^2 =5Π=15,7 ΤΕΤ ΕΚΑΤΟΣΤΑ
    ΒΑΙΟΣ Κ

    ΑπάντησηΔιαγραφή